1.3 Sumas de Riemann.
1.3 Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo.
Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Introducción Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total.
Dicha área es conocida como la suma de Riemann Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: Teniendo los intervalos: La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente: donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux. Para esta suma es importante saber las siguientes identidades: Sabiendo que: Podemos obtener las siguientes igualdades: (donde C es constante) Representación.
Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes:
Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común y de alturas situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente). Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.
Teorema fundamental El teorema más elemental es el siguiente: Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo: Prueba El intervalo I = [0,1] es un espacio métricocompacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe : es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I: Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego existe un natural n tal que (basta con tomar , la parte entera de ). Para todo x en luego , lo que también se escribe: Integrando la relación anterior en se obtiene la siguiente: Luego sumando los con k variando de 0 a n - 1 se obtiene: lo que equivale a: .
El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y da: Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de Riemann, pues en también tenemos . Generalizaciones A otros intervalos Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escogemos un intervalo compacto cualquiera [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de misma longitud obtenemos una aproximación del área bajo la curva de f por n rectángulos de área total , aproximación que se vuelve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente: La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g, definida en [0, 1]: Concretamente: . Así por el teorema en [0, 1], y: con el cambio de variable: . Ejemplo: A otras subdivisiones Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utilizado una subdivisión regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera σ de [a, b] es definida por los números x0, x1 ... xn tales que Se denota δ(σ) la mayor longitud de los intervalos [xk-1, xk] (k entre 1 y n): Con una subdivisión dada σ se puede definir naturalmente dos sumas que denotaremos
El teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente: Para toda función continua en un intervalo [a, b] las sumas de Riemann convergen hacia la integral de f cuando δ(σ) tiende hacia cero: A otros puntos de cálculo Hasta ahora se ha calculado la función a uno u otro extremo de cada segmento, por sencillez; sin embargo la demostración del teorema sigue válida sin esta restricción, lo que permite generalizar aún más las sumas de Riemann escogiendo en cada intervalo [xk-1, xk] el punto de cálculo de la función, .
La suma es entonces . Funciones escalonadas . El área rojo oscuro mide , el área total coloreada (rojo + verde) mide El teorema es, sin sorpresa, el mismo: Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la suma se precisa conocer las imágenes y no los mismos. La función f siendo continua en cada intervalo [xk-1, xk], cada valor vk entre el ínfimo y el supremo es la imagen de un punto (por lo menos) del intervalo por lo que es una suma de Riemann, donde los son implícitos (y de hecho, desconocidos).
En particular son las sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la subdivisión σ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de funciones escalonadas que mejor acotan a f: y, por definición misma de la integral de Riemann, es el límite común de , es decir de cuando δ(σ) tiende hacia cero. Rapidez de Convergencia Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo de n escoger? (hay que tener en cuenta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo).
Más importante aún: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-1, xk]. Método de los rectángulos El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con los puntos de cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea el valor máximo de la derivada en valor absoluto. Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral verifica: Prueba: Tomemos n = 1; en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a). Tenemos (por integración) luego: Al pasar del caso n = 1 al caso n cualquiera se remplaza el intervalo [a, b] por otro de longitud n veces menor, es decir se remplaza en la fórmula b - a por , luego se multiplica por n el error porque hay n pequeños intervalos con la longitud anterior: es el error máximo. Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aquí M1 = |m|) lo que implica que este método dista mucho de ser eficaz: un error en se considera enorme: tiende muy lentamente hacia cero.
Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos Método de los puntos medios El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular. La suma es . Sea el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto. Entonces el error verifica: . Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de Riemann es . da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan los valores absolutos por una desigualdad doble) y luego . Observamos que . Luego : desigualdad triangular en integrales, luego (1) da: . Con n cualquiera, se vuelve que se multiplica por n porque hay n intervalos. El error es acotado por un término en lo que es mucho mejor que el del método anterior porque converge hacia cero mucho más de prisa. Áreas equivalentes El área del trapecio azul es el mismo que el del rectángulo verde y de los rectángulos adyacientes rojos Método de los trapecios
El método de los trapecios consiste en aproximar la integral por el área total de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el eje horizontal (ver figura azul). La suma es La suma es . Tres interpretaciones del área obtenida por el método de los trapecios A primera vista (ver figura azul) no corresponde a una suma de Riemann; sin embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados horizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto A); estos puntos siempre existen, en cada intervalo [xk-1, xk], por el teorema de los valores intermedios: , que es la altura del rectángulo, es un valor alcanzado por f porque pertenece al intervalo .
Para estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja. El área total (color rosado) está compuesta por: * dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el caso de un intervalo de longitud en el método de los rectángulos (punto de cálculo en un extremo del intervalo), es decir por y * n - 1 rectángulos de anchura con puntos de cálculo centrales (como el punto B de la figura) luego el error es acotado por Luego el error total es inferior o igual a ; por tanto es acotado por un término en . Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de M1: , es decir que el error máximo es exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos medios de no obligar a calcular otros valores de la función salvo los que a menudo ya se han calculado previamente a la estimación de la integral. Definición de Integral Definida La integración es el proceso inverso de la diferenciación.
La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente, Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral de Riemann es un caso especial de la integral definida en la cual x es esencialmente un número real. Una integral definida se representa más comúnmente como, Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo. Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior.
La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx. Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior de la integración definida, mientras que el número que está por encima del signo de la integración que es b, es el límite superior de integración. En conjunto se denominan límites de integración. Sin embargo, es esencial que el límite inferior sea menor que el límite superior. Una interesante interpretación de la integración definida es el Teorema del Cambio Total. Para alguna función f(x), f’(x) da la razón de variación de la función dada, entonces da la variación neta de la función dada para algún intervalo [p, q].
En términos simples, se puede afirmar que la integración definida de la razón de variación de una función produce la variación total de los valores de la función. En la expresión dada anteriormente, está claro que la diferencia f(b) - f(a) da la variación total de la función dada f(x) en sus límites de integración. Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para tener una comprensión más profunda del tema. (3y2 + 2y +5) dy [y3 + y2 +5y]15(la expresión anterior denota la sustitución del límite inferior, así como del límite superior en la expresión dada) [4(5)3 + (5)2 + 5(5)] (reemplace el valor del límite superior para las variables en la expresión dada) [4(125) + (25) + 5(5)] 125 + 25 + 25 175 [(1)3 + (1)2 + 5(1)](reemplace el valor del límite inferior para las variables en la expresión dada) [(1)3 + (1)2 + 5(1)] 1 + 1 + 5 7 Ahora reste los dos valores finales para obtener el resultado de la integración. 175- 7 168 Es de destacar que el resultado final es un número y no algún término de variable, lo que significa que para las integrales definidas podemos determinar los resultados reales.
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo.
Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Introducción Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total.
Dicha área es conocida como la suma de Riemann Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: Teniendo los intervalos: La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente: donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux. Para esta suma es importante saber las siguientes identidades: Sabiendo que: Podemos obtener las siguientes igualdades: (donde C es constante) Representación.
Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes:
Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común y de alturas situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente). Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.
Teorema fundamental El teorema más elemental es el siguiente: Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo: Prueba El intervalo I = [0,1] es un espacio métricocompacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe : es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I: Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego existe un natural n tal que (basta con tomar , la parte entera de ). Para todo x en luego , lo que también se escribe: Integrando la relación anterior en se obtiene la siguiente: Luego sumando los con k variando de 0 a n - 1 se obtiene: lo que equivale a: .
El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y da: Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de Riemann, pues en también tenemos . Generalizaciones A otros intervalos Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escogemos un intervalo compacto cualquiera [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de misma longitud obtenemos una aproximación del área bajo la curva de f por n rectángulos de área total , aproximación que se vuelve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente: La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g, definida en [0, 1]: Concretamente: . Así por el teorema en [0, 1], y: con el cambio de variable: . Ejemplo: A otras subdivisiones Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utilizado una subdivisión regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera σ de [a, b] es definida por los números x0, x1 ... xn tales que Se denota δ(σ) la mayor longitud de los intervalos [xk-1, xk] (k entre 1 y n): Con una subdivisión dada σ se puede definir naturalmente dos sumas que denotaremos
El teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente: Para toda función continua en un intervalo [a, b] las sumas de Riemann convergen hacia la integral de f cuando δ(σ) tiende hacia cero: A otros puntos de cálculo Hasta ahora se ha calculado la función a uno u otro extremo de cada segmento, por sencillez; sin embargo la demostración del teorema sigue válida sin esta restricción, lo que permite generalizar aún más las sumas de Riemann escogiendo en cada intervalo [xk-1, xk] el punto de cálculo de la función, .
La suma es entonces . Funciones escalonadas . El área rojo oscuro mide , el área total coloreada (rojo + verde) mide El teorema es, sin sorpresa, el mismo: Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la suma se precisa conocer las imágenes y no los mismos. La función f siendo continua en cada intervalo [xk-1, xk], cada valor vk entre el ínfimo y el supremo es la imagen de un punto (por lo menos) del intervalo por lo que es una suma de Riemann, donde los son implícitos (y de hecho, desconocidos).
En particular son las sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la subdivisión σ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de funciones escalonadas que mejor acotan a f: y, por definición misma de la integral de Riemann, es el límite común de , es decir de cuando δ(σ) tiende hacia cero. Rapidez de Convergencia Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo de n escoger? (hay que tener en cuenta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo).
Más importante aún: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-1, xk]. Método de los rectángulos El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con los puntos de cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea el valor máximo de la derivada en valor absoluto. Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral verifica: Prueba: Tomemos n = 1; en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a). Tenemos (por integración) luego: Al pasar del caso n = 1 al caso n cualquiera se remplaza el intervalo [a, b] por otro de longitud n veces menor, es decir se remplaza en la fórmula b - a por , luego se multiplica por n el error porque hay n pequeños intervalos con la longitud anterior: es el error máximo. Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aquí M1 = |m|) lo que implica que este método dista mucho de ser eficaz: un error en se considera enorme: tiende muy lentamente hacia cero.
Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos Método de los puntos medios El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular. La suma es . Sea el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto. Entonces el error verifica: . Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de Riemann es . da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan los valores absolutos por una desigualdad doble) y luego . Observamos que . Luego : desigualdad triangular en integrales, luego (1) da: . Con n cualquiera, se vuelve que se multiplica por n porque hay n intervalos. El error es acotado por un término en lo que es mucho mejor que el del método anterior porque converge hacia cero mucho más de prisa. Áreas equivalentes El área del trapecio azul es el mismo que el del rectángulo verde y de los rectángulos adyacientes rojos Método de los trapecios
El método de los trapecios consiste en aproximar la integral por el área total de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el eje horizontal (ver figura azul). La suma es La suma es . Tres interpretaciones del área obtenida por el método de los trapecios A primera vista (ver figura azul) no corresponde a una suma de Riemann; sin embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados horizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto A); estos puntos siempre existen, en cada intervalo [xk-1, xk], por el teorema de los valores intermedios: , que es la altura del rectángulo, es un valor alcanzado por f porque pertenece al intervalo .
Para estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja. El área total (color rosado) está compuesta por: * dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el caso de un intervalo de longitud en el método de los rectángulos (punto de cálculo en un extremo del intervalo), es decir por y * n - 1 rectángulos de anchura con puntos de cálculo centrales (como el punto B de la figura) luego el error es acotado por Luego el error total es inferior o igual a ; por tanto es acotado por un término en . Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de M1: , es decir que el error máximo es exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos medios de no obligar a calcular otros valores de la función salvo los que a menudo ya se han calculado previamente a la estimación de la integral. Definición de Integral Definida La integración es el proceso inverso de la diferenciación.
La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente, Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral de Riemann es un caso especial de la integral definida en la cual x es esencialmente un número real. Una integral definida se representa más comúnmente como, Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo. Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior.
La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx. Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior de la integración definida, mientras que el número que está por encima del signo de la integración que es b, es el límite superior de integración. En conjunto se denominan límites de integración. Sin embargo, es esencial que el límite inferior sea menor que el límite superior. Una interesante interpretación de la integración definida es el Teorema del Cambio Total. Para alguna función f(x), f’(x) da la razón de variación de la función dada, entonces da la variación neta de la función dada para algún intervalo [p, q].
En términos simples, se puede afirmar que la integración definida de la razón de variación de una función produce la variación total de los valores de la función. En la expresión dada anteriormente, está claro que la diferencia f(b) - f(a) da la variación total de la función dada f(x) en sus límites de integración. Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para tener una comprensión más profunda del tema. (3y2 + 2y +5) dy [y3 + y2 +5y]15(la expresión anterior denota la sustitución del límite inferior, así como del límite superior en la expresión dada) [4(5)3 + (5)2 + 5(5)] (reemplace el valor del límite superior para las variables en la expresión dada) [4(125) + (25) + 5(5)] 125 + 25 + 25 175 [(1)3 + (1)2 + 5(1)](reemplace el valor del límite inferior para las variables en la expresión dada) [(1)3 + (1)2 + 5(1)] 1 + 1 + 5 7 Ahora reste los dos valores finales para obtener el resultado de la integración. 175- 7 168 Es de destacar que el resultado final es un número y no algún término de variable, lo que significa que para las integrales definidas podemos determinar los resultados reales.
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