1.5 Teorema de existencia.

Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el F(a).

 Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar: Si v(t) es el volumen de agua de un depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así 2 1) es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t1 y t2. Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera 2 1) es el cambio en la concentración [c] desde el instante t1 hasta el t2.

Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) Si la tasa de crecimiento de una población es entonces 2 p(t1) es el aumento de población durante el período desde t1 hasta t2. Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artículo, entonces el costo marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente 2 1) es el incremento en el costo cuando la producción aumenta desde x1 hasta x2 unidades. Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con función de posición s(t) , 2 1) es el cambio de la posición, o desplazamiento, de la partícula durante el período desde t1 hasta t2. expresión 2 1) es el cambio en la velocidad en el instante t1 hasta el t2.

 La potencia P(t) indica la razón de cambio de la energía E(t). Esto permite decir 2 1) indica la energía utilizada en el tiempo entre t1 y t2. La definición que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar la integral de funciones sencillas pero en la mayoría de los casos el cálculo del límite de sumas resulta complicado.