1.8 Teorema del valor intermedio.

El cálculo está en el corazón de las matemáticas y se compone de dos operaciones básicas que son, integración y diferenciación. Existía la necesidad de cerrar la brecha entre estas dos operaciones y por tanto el Teorema Fundamental del Cálculo fue diseñado. Este teorema está dividido en dos partes, a saber: El Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Y la cual es una función continua de un intervalo con rango desde [p, q], existe una función integral indefinida F de la función dada en el mismo intervalo de forma que,De acuerdo con el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, para una función f: X Este teorema ayuda a establecer una conexión entre la integración indefinida que es únicamente de origen algebraico y la integración definida que es únicamente de origen geométrico. También sugiere la existencia de una antiderivada para cada función que sea continua.

Demos un vistazo a un ejemplo para tener una comprensión más profunda. De acuerdo con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, para una función f: X → Y la cual es una función continua de un intervalo abierto donde haya un punto x dentro de este intervalo abierto entonces una función integral indefinida F de la función dada será definida como, Entonces para cada punto en el intervalo abierto de la función dada se puede concluir que, En términos simples se puede afirmar que para cualquiera de las funciones su integral definida se puede calcular con la ayuda de cualquiera de sus antiderivadas.

 El segundo teorema es altamente utilizado para aplicaciones prácticas dado que con el uso de este teorema se hace muy fácil calcular la integral definida de una función. El Teorema Fundamental del Cálculo se ha modificado para hacerlo conveniente para resolver algunos de los problemas de las curvas lo cual pude ser establecido como, para una función f: X → Y la cual tiene una integral indefinida continua en algún área limite la cual en sí contiene una curva parametrizada , Si el Teorema Fundamental del Cálculo se combina con la Regla de la Cadena, algunos los resultados de interés procedentes del cálculo pueden ser obtenidos.

Por ejemplo, sea f(z) una función continua sobre el intervalo [p, q] y asuma que g(z) es diferenciable en el mismo intervalo, entonces podemos afirmar que, Como sabemos que la Regla de la Cadena establece que, Una forma generalizada para la expresión puede ser, Para la expresión anterior ambas funciones g(z) y v(z) son diferenciables en el intervalo dado. Un ejemplo haría las cosas más fáciles de entender, Aquí F(x) no posee una forma explícita de sí misma.