Calculo Integral

Calculo Integral ING. JORGE ALBERTO CALLEJAS RUIZ

TEMARIO 1.- Teorema fundamental del cálculo   1.1 Medición aproximada de figuras amorfas.    1.2 Notación sumatoria.   1.3 Sumas de Riemann.    1.4 Definición de integral definida.    1.5 Teorema de existencia.    1.6 Propiedades de la integral definida.    1.7 Función primitiva.    1.8 Teorema del valor intermedio.    1.9 Teorema fundamental del cálculo.    1.10 Cálculo de integrales definidas básicas.  2.-Métodos de integración e integral indefinida  2.1 Definición de integral indefinida.   2.2 Propiedades de integrales indefinidas  2.3 Cálculo de integrales indefinidas.     2.3.1 Directas.     2.3.2 Cambio de variable.      2.3.3 Por partes.      2.3.4 Trigonométricas.     2.3.5 Sustitución trigonométrica.     2.3.6 Fracciones pa...

Medida Aproximada de Figuras Amorfas Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado. Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta área.  La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante. Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.  Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b. El gráfico de la función se muestra a continuación, Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la curva está compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales. Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x) El área ...

Notación Sumatoria  En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación, Esta expresión representa una operación que incluye lasuma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie. Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria. Puede ser representada de la siguiente manera, Aquí se representa la...

1.3 Suma de Riemann  En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Introducción Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann Dada f(x) en el interva...

Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el F(a).  Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar: Si v(t) es el volumen de agua de un depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así 2 1) es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t1 y t2. Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera 2 1) es el cambio en la concentración [c] desde el instante t1 hasta el t2. Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) Si la tasa de crecimiento de ...

La integral definida se representa por . ∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. Propiedades de la integral definida 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración. 2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero. 3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. 4.  La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales· 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. Regla de Barrow La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la difere...

Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevola función original f(x). Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x). Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintosde c sin ningún pre-requisito para obtener a c. Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia. Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos.  Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, antiderivada, etc. Matemáticamente, para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo abierto (a, b), es de naturaleza continua, tenemos una ...

El cálculo está en el corazón de las matemáticas y se compone de dos operaciones básicas que son, integración y diferenciación. Existía la necesidad de cerrar la brecha entre estas dos operaciones y por tanto el Teorema Fundamental del Cálculo fue diseñado. Este teorema está dividido en dos partes, a saber: El Primer Teorema Fundamental del Cálculo y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Y la cual es una función continua de un intervalo con rango desde [p, q], existe una función integral indefinida F de la función dada en el mismo intervalo de forma que,De acuerdo con el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, para una función f: X Este teorema ayuda a establecer una conexión entre la integración indefinida que es únicamente de origen algebraico y la integración definida que es únicamente de origen geométrico. También sugiere la existencia de una antiderivada para cada función que sea continua. Demos un vistazo a un ejemplo para tener una comprensión más profunda. De acu...

2.1 Calculo De Integrales Indefinidas El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la integración ni del límite inferior de la integración. Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado. La forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es, Aquí el valor de n no debe ser igual a −1. Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Está bastante claro que el valor de n = −1 no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta. Otro método básico de la integración es, Esto significa que la integ...